První taneční kroky se brněnský rodák Kůra učil v tamní baletní škole Iva Váni Psoty a už jako šestnáctiletý student obchodní akademie začal tančit v baletním souboru Národního divadla v Brně. Za války byl nuceně nasazen v Německu a do rodného města se vrátil po osvobození, krátce před příchodem legendárního choreografa Saši Machova. Ten objevil Kůrův talent a později pro něj vytvořil řadu choreografií.
S přestávkami působil Kůra tři desetiletí v Národním divadle v Praze, kde excelentně tančil Prince v Šípkové Růžence, Romea v Romeovi a Julii, Sólo v České suitě, Černého myslivce ve Viktorce nebo Prince v Labutím jezeře. V ND byl v letech 1974 až 1978 i šéfem baletu a léta choreografem. V 60. letech působil jako šéf baletu a choreograf v divadle v Brně, s nímž získal Medaili d´Or, cenu Vincente Escudero za nejlepší inscenaci a originální choreografii Labutího jezera ve Španělsku.
Podle muzikologa a publicisty Jiřího Pilky patřil Kůra mezi nejvýznamnější tanečníky v historii českého baletu. „Nikdy neměl vymezený svůj obor. Vedle klasických rolí, v jejichž náročných variacích uplatňoval kultivovanou a virtuózní techniku, ztělesňoval úspěšně také charakterní role s osobitými hereckými konturami i vynikajícím způsobem interpretoval komediální postavy. Všechny jeho role měly vzácnou přesvědčivost, pravdivost, lidský a estetický rozměr,“ napsal Pilka. Jeho vyjádření ČTK poskytla Kůrova dcera, tanečnice Jana Kůrová.
Předním sólistou baletního souboru Národního divadla v Praze se stal roku 1949. Významný český choreograf Saša Machov pro něho vytvořil mnoho pozoruhodných choreografií. Na zásah ministra kultury Zd. Nejedlého byl r. 1951 nespravedlivě odvolán z Národního divadla a v následujících letech (1951–1953) působil jako sólista a choreograf v Košicích, poté ve Slovenském národním divadle v Bratislavě. V letech 1955–1956 studoval na slavné Akademii baletního umění Agrippiny Vaganové v Sankt Petěrburgu (tehdy Leningradu) pod vedením vynikajícího pedagoga Alexandra Puškina. V roce 1958 se podílel na přípravě a realizaci programu Laterny magiky při světové výstavě EXPO 58 a spolupracoval s Alfrédem Radokem.
Těžištěm jeho tvorby bylo působení ve Státním divadle v Brně (nyní Národní divadlo Brno) a v Národním divadle v Praze. Do Brna se vrátil několikrát (1945–1946, 1948–1949 jako první sólista, 1964–1973 jako choreograf a jako šéf baletu 1964–1966 a 1970–1973). V letech 1966–1967 byl šéfem baletu v Makedonii (Skopje). Do Národního divadla v Praze se vrátil jako první sólista roku 1954 a působil zde až do roku 1964. V roce 1973 podepsal smlouvu jako choreograf a od následujícího roku zastával post šéfa baletu. Na svoji žádost ukončil šéfování v roce 1978, ale s Národním divadlem dále spolupracoval jako choreograf do roku 1991.
Vystupoval a choreografie vytvářel v různých zemích: Španělsko, Itálie, Německo, Nizozemsko, Belgie, Polsko, Kolumbie, Maroko, Japonsko a mnoho dalších. Výrazně přispěl k rozvoji baletu v naší republice. Jeho první choreografií byl baletní triptych Rapsodie v modrém, Bolero, Petruška. Rovněž jako první u nás uvedl baletní představení Giselle v originální verzi podle Mariuse Petipy ve Státním divadle v Brně. Inscenoval mnoho baletních titulů, tvořil choreografie i pro operní, operetní a činoherní představení. Dále spolupracoval na televizních a filmových dílech jako například Ze života umělce, Víly (filmová adaptace baletu Giselle), Pas de Quatre (filmová adaptace baletu Labutí jezero) a mnoho dalších.
Umělecká ocenění M. Kůry: Labutí jezero – 1969 Medaile d’Or, cena Vincenta Escudero (Španělsko); Romeo a Julie – 1972 Grand Prix, d’Italia of RAI (Itálie), za televizní inscenaci (choreografie); The Birds – 1978 Choreography Prize (Japonsko); The Nutcracker (Louskáček) – 1986 State Prize of The World Doctor Society (Itálie); 1995 Cena Thálie za celoživotní dílo.
Jeho manželkou byla emeritní primabalerína Jarmila Manšingrová, dcerou Jana Kůrová, rovněž úspěšná primabalerína.
