František Vlk se narodil 30. prosince 1942 v Brně. Měl celkem sedm bratrů, kteří byli společně s jejich otcem lidovými muzikanty. Od raného věku ho otec učil hrát na klavír a housle. Jako malý chlapec zpíval ve sboru kostela sv. Cyrila a Metoděje v brněnských Židenicích. Když bylo malému Vlkovi devět let, zemřela mu matka. V roce 1957 uspěl na talentových zkouškách vojenské hudební školy v Liberci. Přestože chtěl studoval hru na klavír, poručík Bohumil Řepka přeřadil Vlka ke studiu hry na bicí nástroje a harfu. O tři roky později tuto školu úspěšně dokončil. Po absolvování liberecké vojenské školy působil jako vedoucí skupiny bicích nástrojů v Posádkové hudbě ve Vyškově.
V roce 1965 nastoupil po Liboslavu Bartoškovi jako tympánista do tehdejší Státní filharmonie Brno. Podmínkou jeho přijetí však byl příslib studia na konzervatoři. Protože již absolvoval vojenskou hudební školu, byl přijat rovnou do třetího ročníku konzervatoře, kde studoval u Antonína Paseky. Na konzervatoři po absolutoriu v roce 1968 vyučoval Vlk hru na bicí nástroje. V roce 1971 hostoval v brněnské filharmonii dirigent Otakar Trhlík, kterému se Vlk natolik zalíbil, že mu nabídl pozici tympánisty v opeře v Sydney. Vlk nabídku však odmítl, neboť byla jeho manželka v té době těhotná. Od roku 1981 se Vlk stal po odchodu Antonína Paseky do penze vedoucím skupiny bicích nástrojů brněnské filharmonie. Své působení v orchestru ukončil odchodem do důchodu v roce 2005.
V roce 1989 převzal společně s Pavlem Šumpíkem post externího pedagoga po Antonínu Pasekovi na katedře bicích nástrojů Hudební fakulty Janáčkovy akademie múzických umění v Brně. Vlk zde vyučoval hru na tympány a malý buben. Mezi jeho nejvýznamnější žáky patří mimo jiné Dan Dlouhý, Ctibor Bártek a Martin Opršál. V roce 1995 po náhlém odchodu převzal úvazek po Vlkovi Pavel Šumpík, o rok později byla tato funkce udělena Martinu Opršálovi.
„Na HF JAMU působil v 90. letech 20. století, s katedrou však zůstal i nadále v úzkém kontaktu a pravidelně sledoval umělecký růst jejích studentů. Svou osobností, zkušenostmi a lidským přístupem zanechal nesmazatelnou stopu v životech mnoha hudebníků,“ uvedla Janáčkova akademie múzických umění na svém facebookovém profilu.
Jako host vystupoval i v jiných brněnských orchestrech. Společně s dalšími kolegy založil legendární Moravanku. Správní rada Nadace Život umělce udělila Vlkovi v roce 2013 Senior Prix.
Rozloučení s Františkem Vlkem proběhne v kruhu rodinném.
