František Drs se narodil 21. května 1953 v Kutné Hoře. Vystudoval hru na housle, nejprve na Pražské konzervatoři u profesorky Markéty Morénové, poté na Akademii múzických umění v Praze. Mezitím soukromě studoval dirigování u Libora Hlaváčka. Patřil tak později k posledním českým profesionálním dirigentům bez oborového absolutoria.
František Drs nastoupil roku 1974 jako koncertní mistr operního orchestru Divadla J. K. Tyla v Plzni, kde působil celých 23 let do roku 1997, kdy přestoupil do pražského Hudebního divadla v Karlíně.
Dirigovat operní a baletní tituly začal již v osmdesátých letech za svého plzeňského angažmá, kde také roku 1987 dirigoval svůj prvním samostatný operní titul, Humperdinckovu Perníkovou chaloupku. František Drs později pravidelně nahrával pro Český rozhlas, zejména pak soudobou tvorbu.
Spolu se svoji manželkou Karolinou Hromádkovou založil roku 1995 festival Operní týden Kutná Hora, který zahájil inscenací Smetanovy opery Dalibor.
V letech 2000 až 2011 působil jako dirigent Státní opery Praha a roku 2003 se stal též dirigentem Komorního orchestru Národního divadla. V sezóně 2012/2013 byl dirigentem Opery Národního divadla v Praze.
V dirigentském repertoáru Františka Drse byly operní tituly jako Smetanova Hubička, Dalibor, Prodaná nevěsta, Tajemství, Dvořákova Rusalka, Čert a Káča, Jakobín, Janáčkovy Příhody lišky Bystroušky, Donizettiho Viva la mamma, Nápoj lásky, Rossiniho Lazebník sevillský, Mozartův Don Giovanni, Pucciniho Bohéma, Bizetova Carmen, Gounodův Faust a Markéta, Čajkovského Piková dáma… Z baletů to byl Špalíček Bohuslava Martinů, Čajkovského Šípková Růženka, Prokofjevova Popelka či Romeo a Julie.
Jako dirigent byl zván do řady evropských zemí, například Německa, Rakouska, Francie, Ruska či Litvy. V roce 2016 se za mimořádné zvelebení kulturního života Kutné Hory stal dirigent František Drs čestným občanem města.
