Miloslav Nekvasil se narodil 6. listopadu 1930 v Praze. Vyrůstal na Žižkově, kde měl jeho otec lakýrnickou dílnu. Po válce vystudoval s vyznamenáním gymnázium, na vysokou školu přesto nebyl přijat. Ačkoliv doma žádné hudební zázemí neměl, již za gymnaziálních studií se stal nadšeným návštěvníkem pražských operních představení jak v Národním divadle, tak i ve Velké opeře 5. května. Opera jej zcela uchvátila. Toužil po operní režii, proto se rozhodl pro studium konzervatoře, kterou ale absolvoval roku 1955 v oboru sólový zpěv pod vedením profesora Jana Berlíka, někdejšího dramatického tenoristy a sólisty Národního divadla. Během studia měl na Miloslava Nekvasila velký vliv operní režisér Hanuš Thei, který na konzervatoři vyučoval pěvce operní herectví. Ten u něj zároveň prohloubil zájem o operní režii a stal se až do konce svého života jeho laskavým mentorem a přítelem.
Po studiu byl nejdříve angažován dirigentem Rudolfem Vašatou jako sólista ostravské opery, kde po několik sezón zpíval menší barytonové role. První režijní příležitosti mu nabídl až režisér Ilja Hylas, který ho přizval k práci asistenta režie při zkouškách opery Boris Godunoa (1959). Poprvé se samostatné režie ujal roku 1960 při nastudování Pucciniho opery Tosca, kde měl také poprvé možnost spolupracovat s výtvarníkem Vladimírem Šrámkem, který se posléze stal jedním z jeho nejbližších uměleckých spolupracovníků.
Pucciniho Toscou zahájil Miloslav Nekvasil dlouhou řadu samostatných režií. Záhy dostal v Ostravě režijní smlouvu a opustil dráhu operního sólisty. Během své režijní dráhy hostoval v Ostravě, Ústí nad Labem, Olomouci, Opavě, Košicích, Brně, Liberci, Plzni, Bratislavě, Banské Bystrici, ale i v zahraničí (Finsko, Lotyšsko). Nejsystematičtější byla jeho spolupráce s operou Jihočeského divadla v Českých Budějovicích, kterou zahájil v roce 1978 pozoruhodnou inscenací opery Osud Leoše Janáčka, a následně zde realizoval do roku 1987 celkem devět operních inscenací. Spolupracoval také s ostravským studiem Československé televize. Jeho režijní práce se vyznačovala velice pečlivou přípravou, kultivovaným rukopisem a citlivým a osobním přístupem k herci.
Bývalý pedagog ostravské konzervatoře a pedagog pražské HAMU nakonec vytvořil v ostravském angažmá během třiceti sedmi let více než šest desítek inscenací světového i domácího repertoáru – patřily mezi ně mimo jiné Tosca (1960 a 1979), Figarova svatba (1962 a 1977), Nápoj lásky (1960 a 1985), Rusalka (1965), Prodaná nevěsta (1969), Trubadúr (1963 a 1982), Čert a Káča (1961 a 1984), Ženitba (1971), Faust a Markétka (1975), Bohéma (1976), Carmen (1978), Mignon (1985), Samson a Dalila (1986), Jakobín (1988), Zlato Rýna (1989), Voják a tanečnice (1990), Veronika (1991), Arabella (1992) a mnohé další. Na začátku devadesátých let se stal na dva roky uměleckým šéfem ostravské opery. Naposledy v Ostravě nastudoval operu Ladislava Matějky pro malé i velké diváky Broučci, přičemž byl zároveň i autorem libreta podle stejnojmenné knihy Jana Karafiáta. Roku 1993 se přestěhoval do Prahy, kde také ve Státní opeře režíroval svou poslední inscenaci – Čajkovského Evžena Oněgina (1997).
V roce 1992 začal studovat teologii na Evangelické teologické fakultě Univerzity Karlovy, kterou absolvoval v roce 1999. Již od roku 1994 byl v činné církevní službě a jako farář Českobratrské církve evangelické působil až do roku 2008 hned v několika sborech v Praze a jinde v Čechách. Na divadlo však nezanevřel. Věnoval se pedagogické činnosti na katedře zpěvu a operní režie na Hudební fakultě AMU. K jeho žákům patřila například současná šéfka ostravského muzikálového souboru Gabriela Petráková nebo režisér Jiří Heřman, současný umělecký šéf Janáčkovy opery Národního divadla Brno.
Veškeré práci, před kterou byl životem postaven, se věnoval s pokorou, úctou, plným nasazením, odpovědností a radostí. Na ostravské jeviště se symbolicky vrátil v předvečer svých 90. narozenin při premiéře nové inscenace opery Giuseppe Verdiho Nabucco, která vznikla jako replika inscenace, kterou zde připravil v roce 1968 spolu se scénografem Vladimírem Šrámkem.
K hudbě a divadelní práci přivedl také své dva syny. Syn Ondřej Nekvasil se stal uznávaným scénografem. Syn Jiří Nekvasil jde úspěšně v otcových šlépějích jako operní režisér a současně působí jako ředitel Národního divadla morasvskoslezského.
Miloslav Nekvasil vycházel z toho, že je potřeba mít přehled ve všech oblastech. „Režisér musí znát, musí vědět. Pak teprve může tvořit podle své fantazie a směřovat k tomu nejdůležitějšímu – oslovit diváka, připravit mu zážitek.“
