Kapustin se narodil v ukrajinském městě Horlivka 22. listopadu 1937. Na Moskevské konzervatoři studoval klavír ve třídě Avreliana Rubakha a Alexandra Goldenweisera. Konzervatoř absolvoval roku 1961.
V padesátých letech získal reputaci jazzového klavíristy, aranžéra a skladatele. Jako klavírista byl uznávaný jak v tradici klasické klavírní hry, ale i v jazzové improvizaci.
Jeho kompozice čerpá z obou tradic, užívá jazzových idiomů v klasických hudebních formách. Příkladem je jeho Suita ve starém stylu, op. 28 z roku 1977, kde integruje zvuk jazzové improvizace, ale vytvarované do struktury jednotlivých tanců barokní suity, podobně jako u partit Johanna Sebastiana Bacha. Podobným příkladem je jeho 24 preludií a fug, op. 82 z roku 1997 a Sonatina op. 100.
Kapustin považoval sám sebe hlavně za skladatele, nikoliv jazzmana. „Nikdy jsem nebyl jazzový hudebník. Nikdy jsem se nesnažil být skutečným jazzovým klavíristou, dělal jsem to kvůli kompozici. Nezajímá mě improvizace – ale co je jazzový hudebník bez improvizace? Všechna má improvizace je samozřejmě zapsaná…,“ prohlásil o sobě Kapustin.
Za svůj život napsal celkem 161 opusů, z toho 20 klavírních sonát, 6 klavírních koncertů, variace pro klavír a další.
Ruské i japonské labely vydaly řadu Kapustinových nahrávek vlastních kompozic. Kapustinovy skladby si oblíbili světoví klavíristé jako Steven Osborne, Marc-André Hamelin, Ludmil Angelov či Masahiro Kawakami, kteří jeho tvorbě dedikovali samostatná alba.
