Karel Burian se narodil v Rousínově u Rakovníka, jeho otec byl truhlář. Po reálce v Rakovníku byl jako nadaný student doporučen na Akademické gymnázium v Praze a roku 1884 se s ním do Prahy odstěhovala celá rodina. Rodiče si najali kavárnu Slavia, ale jejich podnikání nebylo úspěšné. Karel Burian maturoval v roce 1889 a pak dva roky studoval Právnickou fakultu Univerzity Karlovy. Studia však opustil, aby se mohl věnovat zpěvu. Karlovým mladším bratrem byl Emil Burian (1876–1926), úspěšný barytonista, který zpíval od roku 1900 v Národním divadle. Emil byl otcem hudebního skladatele a divadelníka Emila Františka Buriana a dědečkem písničkáře Jana Buriana.
Zpěv studoval Karel Burian u pražského učitele Mořice Wallersteina a také u kapelníka Angera. Jako zpěvák vypomáhal v Maiselově synagóze. Debutoval v českém divadle Stodola v Brně a pak zde působil v Národním divadle v sezoně 1890/1891. Poté působil v divadelní skupině Ladislava Chmelenského a ucházel se o místo v pražském Národním divadle, ale tam mu nabídli jen sbor. Vydal se proto do zahraničí a prosadil se v Revalu (dnešním Tallinnu) a v roce 1893 se přesunul do Lipska, odkud jej však ředitel Max Stegmann po prvním představení vyhodil pro nevhodný hlas a chlapecký zjev. Následovala angažmá v menších českých a německých divadlech, sólové party v Královské opeře v Hannoveru a hostování v Brémách. Později se stal prvním tenorem (zprvu na záskok v titulní roli Wagnerova Tannhäusera) v Královské opeře v Hamburku a hostoval v Berlíně.
V pražském Národním divadle se poprvé objevil v roce 1899. 19. června zde zpíval Tannhäusera a 22. června Dalibora, 25. srpna zpíval Kozinu v Psohlavcích Karla Kovařovice a 30. srpna Dona Josého v Carmen. V těchto a dalších rolích se objevoval i v roce 1900 a 1901. Neshody s ředitelem opery Karlem Kovařovicem ale vedly k Burianově odchodu. Následovalo angažmá v Budapešti a především v drážďanské Semperově opeře (1902–1911), kde se stal stěžejním představitelem tenorových rolí v operách Richarda Wagnera. Ve světové premiéře opery Richarda Strausse Salome, která se v Drážďanech konala 9. prosince 1905, vytvořil roli krále Heroda. Titulní roli zpívala Marie Wittich a premiéru dirigoval Ernst von Schuch. Heroda si Burian zopakoval mnohokrát na řadě dalších scén, mimo jiné v roce 1907 v Paříži při francouzské premiéře Salome za osobního řízení Richarda Strausse; Salome zpívala Ema Destinnová.
V následujícím roce, 30. listopadu 1906, debutoval Burian v Metropolitní opeře v New Yorku v roli Tannhäusera. Z wagnerovských rolí zde dále zpíval Siegfrieda (pod taktovkou Gustava Mahlera v Siegfriedovi a pod taktovkou Artura Toscaniniho v Soumraku bohů), Lohengrina, Tristana, Parsifala, Siegmunda ve Valkýře a Logeho ve Zlatu Rýna. Kromě toho zde vystoupil i jako Florestan v Beethovenově Fideliovi. Naposledy v Met zpíval 6. února 1913 jako Siegmund. Působil zde pod jménem Carl Burrian a celkem vystoupil asi ve 130 představeních Met. Jako host se objevoval i v Národním divadle, nejčastěji v letech 1909–1911. Během první světové války kromě Budapešti hostoval v divadlech v rámci celého Rakouska-Uherska. Po válce už se mu ale tak úspěšnou kariéru obnovit nepodařilo. Kromě zpěvu se Burian věnoval i překladům operních libret z němčiny, italštiny a francouzštiny do češtiny a z češtiny do němčiny. Napsal také paměti (Z mých pamětí, 1913). Jeho manželkou byla zpěvačka Národního divadla Františka Burianová-Jelínková, po jejímž boku často vystupoval. Měli spolu syna Richarda, který se narodil v roce 1898. Bydleli vedle Národního divadla v domě čp. 330/I na Smetanově nábřeží 16. V roce 1911 se Burian zamiloval do Elsy Dingesové, mladé vdané ženy, kterou poznal v Drážďanech. Odjeli spolu do Ameriky, avšak saské úřady to viděly jako únos vdané ženy a Burian se už v Drážďanech nemohl znovu objevit. Ti dva se nakonec i vzali, ale jejich manželství trvalo krátce, v roce 1913 Elsa v New Yorku zemřela.
V knize Z operního Olympu Miloslav Pospíšil o Burianovi píše v kapitole „Pěvec bohatýr“. Uvádí, že když začínal v Brně, „nebylo ještě potuchy o tom, že z něho roste světový hrdinný tenor, proslulý svými herecky i pěvecky geniálně stavěnými postavami Smetanových i Wagnerových oper. Byl ve svém mládí lyrický jak v postavě, tak v hlase. Vypadalo to dokonce, jako by měl před sebou kariéru výškového tenora. Všichni se už tehdy obdivovali jeho svítivému, kovově lesklému a až do výšek vyrovnanému tenoru, jeho nosnosti a síle.“
„K Burianově mimořádné hudebnosti přistupovala neméně vzácná vlastnost – oduševnělost přednesu,“ píše dále Miloslav Pospíšil. „Ta pramenila z dokonalého proniknutí díla a vyjádření duševních stavů, jimiž postava, kterou Burian na scéně představoval, procházela v průběhu děje. Uvážíme-li ještě jeho inteligenci, jednak vrozenou, jednak studiem nabytou, a konečně i jeho jevištní temperament a vášnivou duši, máme zachyceny všechny složky, které spoluvytvářely onen mimořádný, neobyčejný a ve všem všudy podmanivý celek jeho jevištních výkonů. Ve své době byl Karel Burian ve světovém kontextu vysoce ceněn zejména jako interpret wagnerovský, ale byla i řada jiných tenorových kreací, v nichž byl podle názoru mnoha kritických hlasů nedostižný.“ A připomíná i jeho bohatý italský repertoár a další, když byl kolem svého čtyřicátého roku na vrcholu: „Když si představíme, že měl v těch letech v hlavě na pětasedmdesát oper, které měl nastudovány česky, německy, italsky, francouzsky a maďarsky, když připomeneme, ž v té době zpíval na koncertních pódiích sta a sta písní, z nichž mnohé měl nastudovány ještě německy a francouzsky, musíme se s obdivem sklonit před energií jeho ducha.“
V roce 1920 se Karel Burian omylem napil čistého louhu místo minerálky. Rány v krku se sice zahojily, ale hlas utrpěl a uvadal. V roce 1924 byl Burian na turné na Slovensku a v Nitře byl u holiče nakažen otravou, která se projevila růží. Zemřel 25. září 1924 na svém statku v Senomatech u Rakovníka. Při posledním rozloučení 29. září v krematoriu na pražských Olšanech, za velké účasti publika, mu Česká filharmonie zahrála Smuteční pochod z Wagnerova Soumraku bohů.
